Program Linier Penyelesaian Menggunakan Metode Grafik

Langkah – langkah dan persyaratan penggunaan metode grafik.

Secara matematis telah digambarkan bentuk dan susunan model yang berlaku dalam LP, yang bila diteliti nampak meliputi “kolom” dan “baris” yang teratur. jumlah baris (menunjukkan batasan-batasan) ditentukan oleh banyaknya sumber yang akan dialokasikan ke setiap jenis kegiatan. Jumlah kolom ditentukan oleh jumlah/macam kegiatan yang memerlukan sumber-sumber tersebut. Bila dikembalikan lagi pada uraian di muka, m menunjukkan jumlah baris dan n menunjukkan jumlah kolom. sehingga tampak “dimensi” suatu masalah LP yang dinyatakan dengan m x n.

Metode grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah LP yang berdimensi  2 x n atau n x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis). Hal ini merupakan persyaratan mutlak untuk dapat digunakannya metode grafik, selain beberapa persyaratan dan asumsi-asumsi dasar di muka.

Langkah-langkah penggunaan metode grafik dapat ditunjukkan secara ringkas sebagai berikut :

º   Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikannya dalam bentuk matematis.

º   Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikannya dalam bentuk matematis.

º   Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem salip sumbu.

º   Mencari titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi tujuan.

Sebelum mempraktekkan setiap langkah di atas, sebaiknya terlebih dahulu diuraikan masalah yang biasanya paling kritis, yaitu menggambarkan garis-garis dari fungsi-fungsi batasan. Fungsi- fungsi batasan tersebut dinyatakan dalam 3 tanda yaitu :

≤                        Kurang dari atau sama dengan

≥                        Lebih dari atau sama dengan

=                        Sama dengan

Sebagai contoh :

1. Grafik dari 4X + 3Y ≤ 12  

                 

Gambar 2.1. Garis dari fungsi batasan dengan tanda ≤

 

2. Grafik dari 4X + 3Y ≥ 12

3. Grafik dari 4X + 3Y = 12

 

Bagian yang diarsir menunjukkan “daerah” (space) yang memenuhi persyaratan fungsi-fungsi tersebut. Pada gambar 3 tidak ada bagian yang diarsir, karena yang memenuhi persyaratan hanya titik sepanjang garis saja.

Adapun contoh masalah LP yang sederhana adalah sebagai berikut :

1. Perusahaan sepatu SENTOSA membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merek I₁, dengan sol dari karet, dan macam kedua merek I₂ dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk I₁ mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedangkan untuk sepatu merek I₂ tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merek I₁ = Rp. 30.000 sedangkan merek I₂ = Rp. 50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I₁ dan merek I₂ yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Data di atas dapat disusun kedalam tabel sebagai berikut :

Merek Mesin	I1	I2	Kapasitas Maksimum
1	2	0	8
2	0	3	15
3	6	5	30
Sumbangan terhadap laba (Rp.10.000)	3	5

Untuk melakukan formulasi masalah di atas, maka pertama-tama tentukan simbol-simbol yang akan dipakai :

X₁ = jumlah sepatu merk I₁ yang akan di buat setiap hari

X₂ = jumlah sepatu merk I₂ yang akan di buat setiap hari

Z   = jumlah sumbangan seluruh sepatu merk I₁ dan merk I₂ yang akan diperoleh.

Masalah tersebut dapat dipecahkan dengan metode grafik dalam LP dengan langkah-langkah dan persyaratan-persyaratan penggunaannya seperti di atas. Secara grafis akan digambarkan sumbu mendatar X₁ untuk produk 1 dan sumbu vertikal X₂ untuk produk 2, jumlah n = 2, yaitu produk 1 (sepatu merek I₁) dan produk 2 (sepatu merek I₂).

Tujuan  kita adalah akan memaksimumkan laba yang akan diperoleh. Sumbangan tiap lusin sepatu merek I₁ = Rp. 30.000, sedangkan merek I₂ = Rp. 50.000. Oleh karena itu dapat kita formulasikan fungsi tujuannya (dalam puluhan ribu rupiah) sebagai berikut:

Maksimumkan : Z = 3X₁ + 5X₂

Dengan adanya batasan kapasitas mesin 1, mesin 2, dan mesin 3 (maksimum 8 jam, 12 jam, dan 30 jam setiap hari) maka kita dapat membuat formulasi batasan-batasan itu sebagai berikut :

1)        2X₁                       ≤ 8

2)                    3X₂           ≤ 15

3)        6X₁ +  5X₂           ≤ 30

Batasan 1) adalah batasan mesin 1 yang berarti 2 jam x jumlah sepatu merek I₁ yang dibuat (2X₁) tidak dapat lebih dari 8 jam. Batasan 2) berarti 3 jam x jumlah sepatu merek I₂ yang dibuat (3X₂) tidak dapat lebih dari 15 jam. Sedangkan batasan 3) berarti bahwa 6 jam x nilai X₁ + 5 jam x nilai X₂ tidak dapat lebih dari 30 jam. Selain itu perlu pula diperhatikan batasan-batasan “non-negatif”, yaitu X₁ ≥ 0 dan X₂ ≥ 0. Artinya kombinasi X₁ dan X₂ nanti hanya akan terletak pada  kuadran pertama, yaitu kuadran yang memuat nilai-nilai positif bagi X₁ dan X₂.

Fungsi batas  pertama (2X₁ ≤ 8) akan digambarkan sebagai garis tegak lurus pada sumbu X₁ di titik 2X₁ = 8  sebagai berikut :

Bagian yang diarsir pada gambar diatas merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan : X₁ ≥ 0 ,X₂ ≥ 0 dan 2X₁ ≤ 8. Dengan cara yang sama fungsi batasan yang kedua (3X₂ ≤ 15) dan batasan ketiga (6X₁ + 5X₂ ≤ 30) dapat digambar untuk mencari titik perpotongan garis 6X₁ + 5X₂ ≤ 30 dengan sumber X₁ dan X₂. Secara lengkap dapat dilihat di bawah ini :

Bagian yang diarsir (disebut daerah feasible) pada gambar di atas menunjukkan bagian yang memenuhi “persyaratan” yang ditetapkan oleh ketiga fungsi-fungsi batasan , atau merupakan daerah kemungkinan-kemungkinan kombinasi (X₁, X₂) yang memenuhi batasan-batasan. Langkah terakhir pendekatan ini adalah mencari suatu titik (kombinasi X₁ dan X₂) yang terletak pada daerah feasible yang dapat memaksimumkan nilai Z. Hal ini dapat dilakukan dengan 2 cara: dengan menggambarkan fungsi tujuan (disebut sebagai cara trial and error) dan dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif.

a.    Dengan menggambarkan fungsi tujuan.

Misal digambarkan Z = 10 = 3X₁ + 5X₂ (garis P pada gambar di bawah). Untuk mengetahui apakah ada nilai (X₁, X₂) di dalam daerah feasible yang akan mendapatkan Z=10.

            Ternyata dengan menggambarkan 3X₁ + 5X₂ = 10 tampak bahwa terdapat lebih dari satu titik pada garis tersebut yang terletak di dalam daerah feasible. Sehingga garis Z = 3X₁ + 5X₂ perlu digeser ke kanan agar lebih menjauhi titik origin atau agar Z lebih besar.

            Umpama garis tersebut digeser menjadi 3X₁ + 5X₂ = 20 (garis q). Tampak bahwa masih terdapat lebih dari satu titik pada garis tersebut yang terletak di dalam daerah feasible. Artinya belum ditemukan satu titik (X₁ , X₂) yang menghasilkan Z tertinggi. Garis Z = 3X₁ + 5X₂ digeser lebih jauh ke kanan, sampai akhirnya ditemukan garis 3X₁ + 5X₂ = 27 1/2 , yang menyinggung daerah feasible di titik C (5/6 , 5). Berarti kombinasi optimal adalah : X₁ = 5/6 dan X₂ = 5, dengan Z maksimal sebesar 27 1/2 .

b. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif

            Apabila cara diatas terasa rumit, dapat dilakukan cara lain yang lebih sederhana yakni dengan membandingkan berbagai alternatif kombinasi X₁ dan X₂. Atau dengan kata lain dengan membandingkan nilai Z yang diperoleh pada berbagai titik kombinasi X₁ dan X₂ di daerah feasible. Tentu saja nilai Z makin tinggi bila makin jauh dari titik origin (O). Sehingga sebaiknya yang membandingkan adalah titik-titik yang ada di sudut-sudut daerah feasible.

➬     Titik O :

Pada titik ini nilai X₁ = 0 , X₂ = 0. Tentu saja Z = 0.

➬     Titik A :

Pada titik ini, nilai X₁ = 4, X₂ = 0. Sehingga Z = 3(4) + 0 = 12

➬     Titik B :

Pada titik ini nilai X₁ = 4. Substitusikan nilai ini pada persamaan batasan (3), maka

6(4) + 5X₂ = 30. Jadi nilai X₂ = (30-24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) = 18.

➬     Titik C :

Pada titik ini nilai X₂ = 5. Substitusikan nilai ini pada persamaan batasan (3), menjadi

6X₁ + 5(5) = 30. Jadi nilai X₁ = (30 – 25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27 1/2 

➬     Titik D :

Pada titik ini nilai X₂ = 5 dan nilai X₁ = 0. Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25.

            Diantara kelima alternatif tersebut di atas yang mempunyai nilai Z terbesar adalah alternatif C, sebesar 27 1/2. Jadi titik inilah yang paling optimal. Keputusannya sepatu merek I₁ dibuat 5/6 dosin dan sepatu merek I₂ dibuat 5 dosin setiap hari, dengan laba setiap hari sebesar Rp. 275.000. 

BACA JUGA : Hal-Hal yang Berkaitan dalam Metode Grafik Program Linier